Question

甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道被选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是

2

3

．
（Ⅰ）求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；
（Ⅱ）设甲答对题目的个数为X，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（I）由于闯关游戏规则规定甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功，所以可以设甲、乙闯关成功分别为事件A、B，利用对立事件的定义求出甲、乙至少有一人闯关成功的概率；
（II）由于甲答对题目的个数为X，由题意则X的可能取值是1，2，利用随机变量的定义及分布列定义即可求出期望值．

解答：解：（Ⅰ）设甲、乙闯关成功分别为事件A、B，
则P(

.

A

)=

C 1 4 • C 2 2

C 3 6

=

4

20

=

1

5

，
P(

.

B

)=(1-

2

3

)3+

C

2 3

2

3

(1-

2

3

)2=

1

27

+

2

9

=

7

27

，
则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是1-P(

.

A

•

.

B

)=1-P(

.

A

)•P(

.

B

)=1-

1

5

×

7

27

=

128

135

．

（Ⅱ）因为甲能答对4道题，所以无论怎么选3道题甲至少答对1道题．
        所以ξ=1，2，3
        P（ξ=1）=（2C2*4C1）/6C3=4/20
        P（ξ=2）=（2C1*4C2）/6C3=12/20
        P（ξ=3）=（2C0*4C3）/6C3=4/20
       由题知X的可能取值是1，2．
P(X=1)=

C 1 4 C 2 2

C 3 6

=

1

5

，P(X=2)=

C 2 4 C 1 2 + C 3 4

C 3 6

=

4

5

，
则X的分布列为

X	1	2
P	1 5	4 5

∴EX=1×

1

5

+2×

4

5

=

9

5

．

点评：此题重在考查学生对于题意的正确理解，还考查了随机变量的定义及随机变量的分布列，另外还考查了期望与古典概率及独立事件的概率公式．