Question

（本小题满分14分）一个几何体是由圆柱和三棱锥组合而成，点、、在圆的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图2所示，其中，，，．

（1）求证：；

（2）求三棱锥的体积．

 

Answer 1

【答案】

（1）只需证平面．（2）。

【解析】

试题分析：（1）证明：因为，，所以，即．

又因为，，所以平面．

因为，所以．……………………………4分

（2）解：因为点、、在圆的圆周上，且，所以为圆的直径．

设圆的半径为，圆柱高为，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，

…………………………………………6分

解得

所以，．………………………………8分

以下给出求三棱锥体积的两种方法：

方法1：由（1）知，平面，所以．……10分

因为，，所以，即．

其中，因为，，

所以．…………………13分

所以．……………………14分

方法2：因为，

所以．……10分

其中，因为，，

所以．…………………13分

所以．………………………14分

考点：线面垂直的性质定理；线面垂直的判定定理；棱锥的体积公式；三视图。

点评：①本题主要考查了空间的线线垂直的证明，充分考查了学生的逻辑推理能力，空间想象力，以及识图能力。②求三棱锥的体积，关键是三棱锥的底面积和高。一般的时候，找一个好求高的面当底面。