Question

已知圆C：x²+y²+2x-4y+4=0
（1）过P（-2，5）作圆C的切线，求切线方程；
（2）斜率为2的直线与圆C相交，且被圆截得的弦长为

3

，求此直线方程．
（3）Q（x，y）为圆C上的动点，求

x2+y2+6x+4y+13

的最值．

Answer 1

（1）圆C：x²+y²+2x-4y+4=0 即 （x+1）²+（y-2）²=1，表示以C（-1，2）为圆心，半径等于1的圆．
过P（-2，5）作圆C的切线，当切线斜率不存在时，切线方程为 x=-2．
当切线斜率存在时，设切线方程为 y-5=k（x+2），即 kx-y+2k+5=0．
由圆心到切线的距离等于半径，可得1=

|-k-2+2k+5|

k2+1

，k=-

4

3

，此时，切线方程为-

4

3

x-y-

8

3

+5=0，即4x+3y-7=0，
故圆的切线方程为 x=-2，或4x+3y-7=0．
（2）斜率为2的直线与圆C相交，且被圆截得的弦长为

3

，可得圆心到直线的距离为

1

2

．
可设直线的方程为 y=2x+b，即 2x-y+b=0．
由

1

2

=

|-2-2+b|

22+1

，b=4±

5

2

，故直线方程为 2x-y+4+

5

2

=0，或  2x-y+4-

5

2

=0．
（3）由于

x2+y2+6x+4y+13

=

(x+3)2+(y+2)2

，表示圆上的点Q（x，y）到点（-3，-2）的距离．
由于圆心C（-1，2）到点（-3，-2）的距离等于2

5

，
故

x2+y2+6x+4y+13

的最小值为2

5

-1，最大值为2

5

+1．