Question

已知点F是椭圆右焦点，点M（m，0）、N（0，n）分别是x轴、y轴上的动点，且满足，若点P满足．
（1）求P点的轨迹C的方程；
（2）设过点F任作一直线与点P的轨迹C交于A、B两点，直线OA、OB与直线x=-a分别交于点S、T（其中O为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设点P（x，y），由题意可知，点F的坐标为（a，0），，由得，消去n与m可得y²=4ax．
（2）设过F点的直线l方程为：y=k（x-a），与轨迹C交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，得：k²x²-（2ka+4a）x+k²a²=0，则x₁x₂=a²，y₁y₂=-4a²．得直线OA的方程为：，所以点S为；同理得点T为；表示出即可得到答案．
解答：解：（1）设点P（x，y），由题意可知，点F的坐标为（a，0），
则，，①，
由得：（x，y）=（-m，2n），即②，
将②式代入①式得：y²=4ax
（2）设过F点的直线l方程为：y=k（x-a），与轨迹C交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，
联立得：k²x²-（2ka+4a）x+k²a²=0，
则x₁x₂=a²，．
由于直线OA的方程为：，则点S的坐标为；
同理可得点T的坐标为；
故，，
则．
点评：解决此类题目的关键是熟练掌握求轨迹方程的方法（消参法），以及设点利用点表示有关的向量的表达式即可，此题对计算能力要求较高．