Question

已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为2

2

，离心率e=

2

2

，过右焦点F的直线l交椭圆于P，Q两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知，设出椭圆方程，根据长轴长为2

2

，离心率e=

2

2

，求出几何量，即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）求出斜率为1的直线l的方程，与椭圆方程联立，求出交点的纵坐标，即可求△POQ的面积．

解答：解：（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．----------------（1分）
∵长轴长为2

2

，离心率e=

2

2

，
∴b=c=1 ， a=

2

．
∴所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1．----------------（6分）
（Ⅱ）∵直线l过椭圆右焦点F（1，0），且斜率为1，
∴直线l的方程为y=x-1．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由 

x2+2y2=2 y=x-1

，得3y²+2y-1=0，
解得 y1=-1，y2=

1

3

．
∴S△POQ=

1

2

|OF|•|y1-y2|=

1

2

|y1-y2|=

2

3

．---------------（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．