题目内容

设P是双曲线y=
1
x
上一点，点P关于直线y=x的对称点为Q，点O为坐标原点，则
OP
•
OQ
=
2
2
．
分析：根据点P的位置设P点横坐标X1，则纵坐标
1
x1
，Q与P关于y=x对称则Q坐标为 Q(
1
x1
，x1)；代入所求数量积式子进行向量坐标运算即可．
解答：解：P是双曲线y=
1
x
上一点
设 P(x1，
1
x1
)，
∵点P关于直线y=x的对称点为Q，则 Q(
1
x1
，x1)，
∴
OP
•
OQ
=(x1，
1
x1
)•(
1
x1
，x1)=x1•
1
x1
+
1
x1
•x1=2．
故答案为：2
点评：本题考查双曲线的简单性质，点的对称问题以及向量数量积的坐标运算，本题解题的关键是正确表示出两个点的坐标，进而表示出两个向量的坐标，本题是一个中档题目．
练习册系列答案
相关题目
下面说法正确的是（　　）
A、命题“?x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“?x∈R，使得x2+x+1≥0”
B、实数x＞y是
1
x
＜
1
y
成立的充要条件
C、设p、q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“?p∧?q”也为假命题
D、命题“若双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的离心率e=
2
，则a=b”的逆否命题为真命题
在空间直角坐标系O-xyz中，
OP
=x
i
+y
j
+z
k
（其中
i
，
j
，
k
分别为x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量）．有下列命题：
①若
OP
=x
i
+y
j
+0
k
(x＞0，y＞0)且|
OP
-4
j
|=|
OP
+2
i
|，则
1
x
+
2
y
的最小值为2
2

②若
OP
=0
i
+y
j
+z
k
，
OQ
=0
i
+y1
j
+
k
，若向量
PQ
与
k
共线且|
PQ
|=|
OP
|，则动点P的轨迹是抛物线；
③若
OM
=a
i
+0
j
+0
k
，
OQ
=0
i
+b
j
+0
k
，
OR
=0
i
+0
j
+c
k
(abc≠0)，则平面MQR内的任意一点A（x，y，z）的坐标必须满足关系式
x
a
+
y
b
+
z
c
=1；
④设
OP
=x
i
+y
j
+0
k
(x∈[0，4]，y∈[-4，4])，
OM
=0
i
+y1
j
+
k
(y1∈[-4，4])，
ON
=x2
i
+0
j
+0
k
(x2∈[0，4])，若向量
PM
⊥
j
，
PN
与
j
共线且|
PM
|=|
PN
|，则动点P的轨迹是双曲线的一部分．
其中你认为正确的所有命题的序号为
②③④
②③④
．
下面说法正确的是（　　）
A．命题“?x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“?x∈R，使得x2+x+1≥0”
B．实数x＞y是
1
x
＜
1
y
成立的充要条件
C．设p、q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“?p∧?q”也为假命题
D．命题“若双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的离心率e=
2
，则a=b”的逆否命题为真命题
设P是双曲线y=
1
x
上一点，点P关于直线y=x的对称点为Q，点O为坐标原点，则
OP
•
OQ
=______．

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