题目内容

（2013•朝阳区一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA=AD=2．四边形ABCD满足BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1．点E，F分别为侧棱PB，PC上的点，且
PE
PB
=
PF
PC
=λ．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）当λ=
1
2
时，求异面直线BF与CD所成角的余弦值；
（Ⅲ）是否存在实数λ，使得平面AFD⊥平面PCD？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．
分析：（Ⅰ）由
PE
PB
=
PF
PC
=λ可知，EF∥BC，依题意，可求得EF∥AD，再利用线面平行的判断定理即可证得结论；
（Ⅱ）可证得PA，AB，AD两两垂直，以之为轴建立空间直角坐标系，可求得
BF
与
CD
的坐标，利用向量的数量积即可求得异面直线BF与CD所成角的余弦值；
（Ⅲ）设F（x0，y0，z0），则
PF
=（x0，y0，z0-2），
PC
=（1，1，-2），由
PF
=λ
PC
，可求得F（λ，λ，2-2λ），再设出平面AFD的一个法向量为n1=（x1，y1，z1），平面PCD的一个法向量为n2=（x2，y2，z2），可求得这两个法向量的坐标，利用n1•n2=0，即可求得λ的值．
解答：证明：（Ⅰ）由已知，
PE
PB
=
PF
PC
=λ，
所以EF∥BC．
因为BC∥AD，所以EF∥AD．
而EF?平面PAD，AD?平面PAD，
所以EF∥平面PAD．          …（4分）
（Ⅱ）因为平面ABCD⊥平面PAC，
平面ABCD∩平面PAC=AC，且PA⊥AC，
所以PA⊥平面ABCD．
所以PA⊥AB，PA⊥AD．
又因为AB⊥AD，
所以PA，AB，AD两两垂直．      …（5分）
如图所示，建立空间直角坐标系，
因为AB=BC=1，PA=AD=2，
所以A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．
当λ=
1
2
时，F为PC中点，
所以F（
1
2
，
1
2
，1），
所以
BF
=（-
1
2
，
1
2
，1），
CD
=（-1，1，0）．
设异面直线BF与CD所成的角为θ，
所以cosθ=|cos＜
BF
，
CD
＞|=
|(-
1
2
，
1
2
，1)•(-1，1，0)|
1
4
+
1
4
+1
×
2
=
3
3
，
所以异面直线BF与CD所成角的余弦值为
3
3
．…（9分）
（Ⅲ）设F（x0，y0，z0），则
PF
=（x0，y0，z0-2），
PC
=（1，1，-2）．
由已知
PF
=λ
PC
，所以（x0，y0，z0-2）=λ（1，1，-2），
所以
x0=λ
y0=λ
z0=2-2λ
，
∴
AF
=（λ，λ，2-2λ）．
设平面AFD的一个法向量为n1=（x1，y1，z1），因为
AD
=（0，2，0），
所以
n1•
AF
=0
n1•
AD
=0
即
λx1+λy1+(2-2λ)z1=0
2y1=0
，
令z1=λ，得n1=（2λ-2，0，λ）．
设平面PCD的一个法向量为n2=（x2，y2，z2），
因为
PD
=（0，2，-2），
CD
=（-1，1，0），
所以
n2•
PD
=0
n2•
CD
=0
即
2y2-2z2=0
-x2+y2=0

令x2=1，则n2=（1，1，1）．
若平面AFD⊥平面PCD，则n1•n2=0，所以（2λ-2）+λ=0，解得λ=
2
3
．
所以当λ=
2
3
时，平面AFD⊥平面PCD．…（14分）
点评：本题考查直线与平面的平行，考查异面直线所成的角，考查面面垂直，突出考查空间直角坐标系在证明与计算中的应用．属于中档题．
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3
2
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2
+
1
2
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π
2
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