题目内容
已知二次函数f（x）=x2+bx+c，
（1）若c＜b＜1且f（1）=0，证明-2＜c＜0
（2）在（1）的条件下若f（m）＜0，证明f（m+3）为正数．
（1）若c＜b＜1且f（1）=0，证明-2＜c＜0
（2）在（1）的条件下若f（m）＜0，证明f（m+3）为正数．
分析：（1）利用不等式的性质结合二次函数的图象证明．
（2）根据二次函数的图象和对称轴之间的关系证明．
（2）根据二次函数的图象和对称轴之间的关系证明．
解答：解：（1）f（1）=1+b+c=0，
∴b+c=-1，∴c＜0
（若不然c≥0，则b＞c≥0，∴b+c≥0与b+c=-1矛盾），
又-1=b+c＜1+c，
∴c＞-2，
∴-2＜c＜0．
（2）∵f（1）=0，
∴1为f（x）=0的一个根，由韦达定理知另一根为c
又f（m）＜0，
∴（m-c）（m-1）＜0，
∴1＜m＜1
∴m+3＞c+3＞-2+3=1，
∵f（x）在（1，+∞）单调递增，
∴f（m+3）＞f（1）=0．
∴b+c=-1，∴c＜0
（若不然c≥0，则b＞c≥0，∴b+c≥0与b+c=-1矛盾），
又-1=b+c＜1+c，
∴c＞-2，
∴-2＜c＜0．
（2）∵f（1）=0，
∴1为f（x）=0的一个根，由韦达定理知另一根为c
又f（m）＜0，
∴（m-c）（m-1）＜0，
∴1＜m＜1
∴m+3＞c+3＞-2+3=1，
∵f（x）在（1，+∞）单调递增，
∴f（m+3）＞f（1）=0．
点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，综合性较强．要求熟练掌握二次函数的性质．
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