Question

如图所示，四棱锥P―ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E是PB的中点．

(1)求异面直线PA和DC的距离；

(2)求直线AE与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

解：(1)∵PD⊥平面ABCD．∴PD⊥DC．又DC⊥AD．∴DC⊥平面PAD．

作DF⊥PA于F，则CD⊥DF．∴DF是异面直线PA与DC的公垂线段，且DF=PA=，因此，异面直线PA与CD之间的距离为．

(2)将四棱锥P―ABCD补成正方体ABCD―A₁B₁C₁D₁如图所示，取A_lB的中点H，

连接AH，则易证AH⊥平面PCBA₁．连接EH，

则∠AEH即为直线AE与平面PBC所成的角．显然AH=，AE=，

所以在Rt△AHE中，sin∠AEH=．

   ∴直线AE与平面PBC所成的角的正弦值为．