Question

已知函数f（x）是定义在R上的增函数，函数f（x-1）的图象关于点（1，0）对称．若实数x，y满足不等式f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0，则当x＞3时，2x²+2y²的取值范围是

 

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Answer 1

分析：由函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，结合图象平移的知识可知函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，从而可知函数y=f（x）为奇函数，由f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立，可把问题转化为（x-3）²+（y-4）²＜4，借助于圆的有关知识可求．

解答：解：∵函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，
∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，
即函数y=f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），
又∵f（x）是定义在R上的增函数且f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立，
∴（x²-6x+21）＜-f（y²-8y）=f（8y-y²）恒成立，
∴x²-6x+21＜8y-y²，
∴（x-3）²+（y-4）²＜4恒成立，
设M（x，y），则当x＞3时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意一点，
则2x²+2y²表示在半圆内任取一点与原点的距离的平方的2倍，
结合圆的知识可知13＜x²+y²＜49，
∴2x²+2y²的取值范围是（26，98），
故答案为：（26，98）．

点评：本题考查了函数图象的平移、函数的奇偶性、单调性及圆的有关知识，解决问题的关键是把“数”的问题转化为“形”的问题，借助于图形的几何意义减少了运算量，体现了“数形结合及”转化”的思想在解题中的应用．