题目内容

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．
（1）若 $数学公式$ ，c=2，求△ABC的面积；
（2）若sinA，sinB，sinC成等比数列，试判断△ABC的形状．

解：解：∵A、B、C成等差数列，可得2B=A+C．
∴结合A+B+C=π，可得B= $\text{[math]}$ ．
（1）∵ $\text{[math]}$ ，c=2，
∴由正弦定理 $\text{[math]}$ ，得sinC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∵b＞c，可得B＞C，∴C为锐角，得C= $\text{[math]}$ ，从而A=π-B-C= $\text{[math]}$ ．
因此，△ABC的面积为S= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（2）∵sinA、sinB、sinC成等比数列，即sin²B=sinAsinC．
∴由正弦定理，得b²=ac
又∵根据余弦定理，得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac，
∴a²+c²-ac=ac，整理得（a-c）²=0，可得a=c
∵B= $\text{[math]}$ ，∴A=C= $\text{[math]}$ ，可得△ABC为等边三角形．
分析：（1）根据A、B、C成等差数列，结合A+B+C=π算出B= $\text{[math]}$ ，再由正弦定理得sinC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．根据b＞c得C为锐角，得到C= $\text{[math]}$ ，从而A=π-B-C= $\text{[math]}$ ，△ABC是直角三角形，由此不难求出它的面积；
（2）根据正弦定理，结合题意得b²=ac，根据B= $\text{[math]}$ 利用余弦定理，得b²=a²+c²-ac，从而得到a²+c²-ac=ac，整理得得（a-c）²=0，由此即可得到△ABC为等边三角形．
点评：本题给出三角形的三个内角成等差数列，在已知两边的情况下求面积，并且在边成等比的情况下判断三角形的形状．着重考查了三角形内角和定理和利用正、余弦定理解三角形的知识，属于中档题．