Question

若方程

2x-x2

=kx-2k+2有两个不同的实数根，则实数k的取值范围为（　　）

• A、[-

  3

  4

  ，

  3

  4

  ]
• B、(

  3

  4

  ，1]
• C、[-1，1）
• D、[-1，

  3

  4

  )

Answer 1

分析：由题意可得，曲线y=

2x-x2

的图象和直线y=k（x-2）+2有2个不同的交点．求出直线BO的斜率为1，设切线BC的斜率为k′，再根据圆心A（1，0）到直线BC的距离等于1求得 k′的值，可得实数k的取值范围．

解答：解：由题意可得，曲线y=

2x-x2

 的图象和直线y=k（x-2）+2有2个不同的交点．
而曲线y=

2x-x2

即 （x-1）²+y²=1，表示以点A（1，0）为圆心、半径为1的半圆，
直线y=k（x-2）+2经过定点B（2，2），如图所示：
直线BO的斜率为1，设切线BC的斜率为k′，则切线方程为y-2=k′（x-2），即k′x-y+2-2k′=0，
再根据圆心A（1，0）到直线BC的距离等于1可得

|k′-0+2-2k′|

k′2+1

=1，解得 k′=

3

4

，
故实数k的取值范围为（

3

4

，1]，
故选：B．

点评：本题考查方程有两个实数解的条件，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，求出直线在AC位置时的斜率k值及切线CD的斜率，是解题的关键，属于
中档题．