Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，an+1=2(1+

1

n

)2an，n∈N*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；（2）设bn=

an

n

，求

n

i=1

bi；（3）当n≥2时，求证：

n

i=1

ci＜

17

24

．

Answer 1

分析：（1）由已知，得

an+1

(n+1)2

=2•

an

n2

，由此可以求出a_n=n²2ⁿ．
（2）bn=

an

n

=n2n．

n

i=1

bi=1•2¹+2•2²+3•2³++n•2ⁿ，再用错位相减法可求出

n

i=1

bi=2（1-2ⁿ）+n•2ⁿ⁺¹=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．
（3）当n≥2时，cn=

n

an

=

1

n2n

=

n-1

n(n-1)2n

＜

n+1

n(n-1)2n

=

1

(n-1)2n-1

-

1

n2n

．由此入手可证出

n

i=1

ci＜

17

24

．

解答：解：（1）由已知，得

an+1

(n+1)2

=2•

an

n2

，∴{

an

n2

}是公比为2的等比数列，首项为a₁=2．
∴

an

n2

=2•2n-1，a_n=n²2ⁿ．（6分）
（2）bn=

an

n

=n2n．

n

i=1

bi=1•2¹+2•2²+3•2³++n•2ⁿ，①
2

n

i=1

bi=1•2²+2•2³++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-

n

i=1

bi=2¹+2²+2³++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，
∴

n

i=1

bi=2（1-2ⁿ）+n•2ⁿ⁺¹=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．（12分）
（3）当n≥2时，cn=

n

an

=

1

n2n

=

n-1

n(n-1)2n

＜

n+1

n(n-1)2n

=

1

(n-1)2n-1

-

1

n2n

．
∴

n

i=1

ci=c1+c2++c3+

n

i=4

ci=

1

2

+

1

8

+

1

24

+

n

i=4

(

1

2i-1(i-1)

-

1

2ii

)
=

1

2

+

1

8

+

1

24

+

1

3•23

-

1

n2n

＜

17

24

．（18分）

点评：本题问题叙述简捷，形式优美，体现数学的形式美、内在美．
第（1）问，也可采用迭代法来完成，理科生还可使用数学归纳法来实施．
第（2）问，仍作为压轴问题，旨在强调数列中的一些重要方法．
第（3）问，若将结论减弱为

n

i=1

ci＜

3

4

．则所提供的解法中，只须保留原来的两项，或者也可以直接将

1

n•2n

，从第3项起，放大为

1

2n

．