Question

【题目】已知，，，，，，边上一点，这里异于．由引边的垂线是垂足，再由引边的垂线是垂足，又由引边的垂线是垂足．同样的操作连续进行，得到点，，．设，如图所示.

（1）求的值；

（2）某同学对上述已知条件的研究发现如下结论：，问该同学这个结论是否正确并说明理由；

（3）用和表示．

Answer 1

【答案】（1）（2）结论正确，证明见解析；（3），．

【解析】

（1），根据向量数量积公式，求出，即可求解；

（2）只需在中，求出，判断是否成立即可，在中，由余弦定理求出，根据已知得出，进而求出，即可得到；

（3）由已知可得，，分别通过，，，将用表示，结合，得到递推关系，进而求出的通项公式.

（1）∵，

∴．

∴．

（2）该同学的结论正确，证明如下：

由（1）及已知，得，，．

由余弦定理知．

又，则．

∴．

即．

（3）由已知．

∵，∴．

∴

．

即，也即．

∴，，

是以为首项，公比为的等比数列，

，

∴，．