Question

已知：函数f（x）=2sin（x-

π

4

）
（1）求函数f（x）在x∈[-

π

12

，π]时的值域；
（2）求函数f（x）在x∈[-

π

12

，π]时的单调区间．

Answer 1

分析：（1）当x∈[-

π

12

，π]时，x-

π

4

∈[-

π

3

，

3π

4

]．结合正弦函数的图象与性质，可得当x=

3π

4

时，函数f（x）的最大值为2，当x=-

π

12

时有最小值为-

3

，由此即可得到函数f（x）在x∈[-

π

12

，π]时的值域；
（2）令t=x-

π

4

，根据已知条件得t∈[-

π

3

，

3π

4

]，结合y=sint在∈[-

π

3

，

3π

4

]上的单调区间，即可得到f（x）在区间[-

π

12

，π]上的单调性，得到本题答案．

解答：解：∵x∈[-

π

12

，π]，∴x-

π

4

∈[-

π

3

，

3π

4

]
（1）∵当x=

3π

4

时，x-

π

4

=

π

2

∴当x=

3π

4

时，函数f（x）=2sin（x-

π

4

）有最大值为2
∵f（-

π

12

）=2sin（-

π

3

）=-

3

，f（π）=2sin

3π

4

=

2

∴函数f（x）在x∈[-

π

12

，π]时的最小值为f（-

π

12

）=-

3

，
综上所述，可得函数f（x）在x∈[-

π

12

，π]时的值域为[-

3

，2]；
（2）∵x∈[-

π

12

，

3π

4

]时，t=x-

π

4

∈[-

π

3

，

π

2

]，y=sint在[-

π

3

，

π

2

]是关于t的增函数，
∴f（x）在区间[-

π

12

，

3π

4

]上是增函数
而x∈[

3π

4

，π]时，t=x-

π

4

∈[

π

2

，

3π

4

]，y=sint在[

π

2

，

3π

4

]是关于t的减函数，
∴f（x）在区间[

3π

4

，π]上是减函数．

点评：本题给出三角函数f（x）=2sin（x-

π

4

），求函数在区间[-

π

12

，π]上的单调性与值域．着重考查了正弦函数的图象与性质的知识，属于基础题．