Question

（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD, ，，E是BD的中点．

   （1）求证：EC//平面APD；

   （2）求BP与平面ABCD所成角的正切值；

   （3） 求二面角P-AB-D的大小．

Answer 1

解析:

解法一：（Ⅰ）如图，取PA中点F，连结EF、FD，

∵E是BP的中点，

∵EF//AB且，又∵

∴EFDC∴四边形EFDC是平行四边形，故得EC//FD

又∵EC平面PAD，FD平面PAD,∴EC//平面ADE．    …………………4分

   （Ⅱ）取AD中点H，连结PH，因为PA=PD，所以PH⊥AD

∵平面PAD⊥平面ABCD于AD     ∴PH⊥面ABCD

∴HB是PB在平面ABCD内的射影    ∴∠PBH是PB与平面ABCD所成角

∵四边形ABCD中， 

 ∴四边形ABCD是直角梯形  

设AB=2a，则，在中,易得,

，又∵，

∴是等腰直角三角形，

∴

    ∴在中，．   …………………8分

   （III）在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连结PG，则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，所以∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，由AB=2a

，又∴

在中，

∴二面角P-AB-D的大小为．   …………………12分

解法二：   

   （Ⅰ）同解法一

   （Ⅱ）设AB=2a，同解法一中的（Ⅱ）可得

    如图，以D点为原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，过D点且垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系．则，，

则，

平面ABCD的一个法向量为m=（0，0，1），

所以，

可得PB与平面ABCD所成角的正弦值为

所以 PB与平面ABCD所成角的正切值为．    …………………8分

   （III）易知，则，设平面PAB的一个法向量为，则    ，

    令，可得  得，

所以二面角P-AB-D的大小为．     …………………12分