Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=(

1

3

)n-1，n∈N^*
（1）数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求：

lim

n→∞

(a2+a4+a6+…+a2n)．

Answer 1

（1）a₁=s₁=(

1

3

)1-1=-

2

3

，
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=(

1

3

)n-1-[(

1

3

)n-1-1]=-

2

3

•(

1

3

)n-1．
当n=1时，也满足a_n=-

2

3

•(

1

3

)n-1．
故数列{a_n}的通项公式a_n=-

2

3

•(

1

3

)n-1．
（2）由（1）知，数列{a_n}是以-

2

3

为首项，以

1

3

为公比的等比数列．
故{a_2k} k∈N₊ 是以-

2

9

为首项，以

1

9

为公比的等比数列．
∴

lim

n→∞

a₂+a₄+a₆+…+a_2n=

- 2 9

1- 1 9

=-

1

4

．
故答案为：-

1

4

．