Question

已知椭圆=1，点P为其上一点，F₁、F₂为椭圆的焦点，Q为射线F₁P延长线上一点，且|PQ|=|PF₂|，设R为F₂Q的中点．
（1）当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；
（2）设点R形成的曲线为C，直线l：y=k（x+4）与曲线C相交于A、B两点，若∠AOB=90°时，求k的值．

Answer 1

解：（1）F₁（-2，0），F₂（2，0）设R（x，y），Q（x₁，y₁）．∵|PQ|=|PF₂|，
∴|F₁Q|=|F₂P|+|PQ|=|F₁P|+|PF₂|=8，则（x₁+2）²+y₁²=64．（4分）
又得x₁=2x-2，y₁=2y．
∴（2x）²+（2y）²=64，故R的轨迹方程为：x²+y²=16（7分）
（2）如图，当∠AOB=90°时，
在Rt△AOC中，∠AOC=45°，此时弦心距|OC|=
又|OC|=．由=得．（12分）
分析：（1）F₁（-2，0），F₂（2，0）设R（x，y），Q（x₁，y₁）．由|PQ|=|PF₂|，知|F₁Q|=|F₂P|+|PQ|=|F₁P|+|PF₂|=8，所以（x₁+2）²+y₁²=64，由此能导出R的轨迹方程．
（2）当∠AOB=90°时，在Rt△AOC中，∠AOC=45°，此时弦心距|OC|=，又|OC|=．由此能导出k的值．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．