Question

已知椭圆+=1经过点P（，），离心率是，动点M（2，t）（t＞0）
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求以OM为直径且别直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程；
（3）设F是椭圆的右焦点，过点F做OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明线段ON长是定值，并求出定值．

Answer 1

解：（1）∵椭圆+=1经过点P（，），
离心率是，
∴椭圆方程设为，
把点P（，）代入，
得，
解得4k²=2，
∴椭圆的标准方程是．
（2）以OM为直径的圆的圆心是（1，），
半径r=，
方程为，
∵以OM为直径圆直线3x-4y-5=0截得的弦长为2，
∴圆心（1，）到直线3x-4y-5=0的距离d=，
∴，
解得t=4，
∴所求圆的方程是（x-1）²+（y-2）²=5．
（3）设N（x₀，y₀），
点N在以OM为直径的圆上，
所以x₀（x₀-2）+y₀（y₀-t）=0，
即：x₀²+y₀²=2x₀+ty₀，
又N在过F垂直于OM的直线上，
所以，
即2x₀+ty₀=2，
所以．
分析：（1）由椭圆+=1离心率是，设椭圆方程设为，把点P（，）代入，得，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）以OM为直径的圆的圆心是（1，），半径r=，方程为，由以OM为直径圆直线3x-4y-5=0截得的弦长为2，知，由此能求出所求圆的方程．
（3）设N（x₀，y₀），点N在以OM为直径的圆上，所以x₀²+y₀²=2x₀+ty₀，又N在过F垂直于OM的直线上，所以2x₀+ty₀=2，由此能求出ON．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，仔细解答．