Question

（本小题满分13分）设函数f（x）=x³+ax²－a²x+m（a>0）．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若函数f（x）在x∈[－1，1]内没有极值点，求a的取值范围；

（Ⅲ）若对任意的a∈[3,6]，不等式f（x）≤1在x∈[－2,2]上恒成立，求m的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x²+2ax－a²=3（x－）（x+a）

 

又a>0，∴当x<－a或x>时f′（x）>0；

 

当－a<x<时，f′（x）<0．

 

∴函数f（x）的单调递增区间为（－∞，－a），（，+∞），

 

单调递减区间为（－a，）．（4分）

 

（Ⅱ）由题设可知，方程f′（x）=3x²+2ax－a²=0在[－1，1]上没有实根

∴，解得a>3．                                           （8分）

 

（Ⅲ）∵a∈[3,6]，∴由（Ⅰ）知∈[1，2]，－a≤－3

又x∈[－2,2]

∴f（x）_max=max{f（－2）,f（2）}

而f（2）－f（－2）=16－4a²<0

∴f（x）_max=f（－2）=－8+4a+2a²+m                                       （10分）又∵f（x）≤1在[－2，2]上恒成立

∴f（x）_max≤1即－8+4a+2a²+m≤1

即m≤9－4a－2a²,在a∈[3，6]上恒成立

∵9－4a－2a²的最小值为－87

∴m≤－87．                       （13分）

【解析】略