Question

设F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点．
（1）若P是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；
（2）设A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．求四边形AEBF面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可知，设P（x，y），则可得，
，代入向量的数量积可得=，由二次函数的性质可求
（2）设E（x₁，kx₁），F（x₂，kx₂），联立消去y整理可得（1+4k²）x²=4，解方程可求x₁，x₂
根据点到直线的距离公式可求，点E，F到直线AB的距离h₁，h₂，代入四边形AEBF的面积为S=，结合基本不等式可求面积的最大值
解答：解：（1）由题意可知a=2，b=1，
∵c==
∴，设P（x，y）
∴，
=x²+y²-3（3分）
==
由椭圆的性质可知，-2≤x≤2
∴0≤x²≤4，
∴
故-21（5分）
（2）设E（x₁，kx₁），F（x₂，kx₂），联立消去y整理可得（1+4k²）x²=4
∴（7分）
∵A（2，0），B（0，1）
∴直线AB的方程为：x+2y-2=0
根据点到直线的距离公式可知，点E，F到直线AB的距离分别为
=（8分）
=
∴（9分）
∴|AB|=
∴四边形AEBF的面积为S===（10分）

=（当且仅当4k=即k=时，上式取等号，所以S的最大值为2（12分）
点评：本题主要考查了由椭圆的方程及解椭圆的性质，向量的数量积的坐标表示及二次函数的性质的应用，直线与曲线的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，属于直线与圆锥曲线的综合性试题