Question

已知函数f（x）=lnx+（x-a）²，a∈R．
（1）若a=0，求函数f（x）在[1，e]上的最小值；
（2）若函数f（x）在[

1

2

，2]上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）定义域为（0，+∞），
∵f′(x)=

1

x

+2x＞0，…（3分），
∴f（x）在[1，e]上单调递增，…（5分）
∴当x=1时，f（x）_min=f（1）=1…（7分）
（2）f′(x)=

1

x

+2(x-a)=

2x2-2ax+1

x

，…（9分）
由题可知，在区间[

1

2

，2]上存在子区间使不等式2x²-2ax+1＞0成立使成立
又x＞0，∴2a＜2x+

1

x

在[

1

2

，2]上有解…（11分）
令g(x)=2x+

1

x

，则只需2a小于g（x）在[

1

2

，2]上的最大值
由g′(x)=2-

1

x2

＞0知x＞

2

2

，
∴g（x）在[

2

2

，2]上单调递增，在[

1

2

，

2

2

]上单调递减，…（13分）
∴g(x)max=max{g(2)，g(

1

2

)}
又g(2)=

9

2

，g(

1

2

)=3，
故2a＜

9

2

，即a＜

9

4

…（15分）