Question

（2013•淄博一模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

3

=1(a＞

10

)的右焦点F在圆D：（x-2）²+y²=1上，直线l：x=my+3（m≠0）交椭圆于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若

OM

⊥

ON

（O为坐标原点），求m的值；
（Ⅲ）若点P的坐标是（4，0），试问△PMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）已知及圆与x轴的交点即可得到椭圆的焦点，进而得到椭圆的标准方程．
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．把直线方程与椭圆的方程联立得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系及

OM

⊥

ON

?

OM

•

ON

=0即可证明；
（III）利用三角形的面积计算公式、根与系数的关系、基本不等式的性质即可得出．

解答：解：（I）由圆D：（x-2）²+y²=1上可得：圆心（2，0），半径r=1．
令y=0得（x-2）²=1，解得x=3或1．
∴椭圆的半焦距c=3或1，但是当c=1时，a=

3+1

＜

10

，故舍去．
∴c=3，a²=b²+c²=3+3²=12．
故椭圆的方程为

x2

12

+

y2

3

=1．
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立

x=my+3 x2+4y2=12

化为（m²+4）y²+6my-3=0，
∴y1+y2=-

6m

m2+4

，y1y2=

-3

m2+4

．
∴x1x2=m2y1y2+3m(y1+y2)+9=

-3m2

m2+4

+

-18m2

m2+4

+9=

36-12m2

m2+4

．
∵

OM

⊥

ON

，∴

OM

•

ON

=0．
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴

36-12m2-3

m2+4

=0，
∴m2=

11

4

，解得m=±

11

2

为定值．
（III）∵直线l过椭圆的右焦点F（3，0），
∴S_△PMN=

1

2

|FP|•|y1-y2|．
∵|FP|=4-3=1．
利用（II）可得S_△PMN=

1

2

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

2

36m2 (m2+4)2 + 12(m2+4) (m2+4)2

=2

3

m2+1 (m2+4)2

=2

3

1 (m2+1)+ 9 m2+1 +6

≤2

3

×

1 12

=1．
当且仅当m²+1=3，即m=±

2

时等号成立．故△PMN的面积存在最大值1．

点评：本题综合考查了：椭圆与圆的标准方程及其性质，把直线方程与椭圆的方程联立得到关于y的一元二次方程得到根与系数的关系，

OM

⊥

ON

?

OM

•

ON

=0，三角形的面积计算公式，基本不等式的性质等．需要较强的推理能力和计算能力．