Question

若函数f（x）=-x²+2ax+1+a在区间[0，2]上最大值为5，求实数a的值．

Answer 1

分析：先求对称轴，比较对称轴和区间的关系，利用开口向下的二次函数离对称轴越近函数值越大来解题．

解答：解：f（x）=-x²+2ax+1+a，其对称轴是 x=a   （2分）
（1）当a＜0时，则f（x）在[0，2]上是减函数
∴当x=0时，f（x）_max=f（0）=5
故a=-4＜0                              （5分）
（2）当0≤a≤2时，则f（x）_max=f（0）=5
故a=

1

2

±

17

2

∉[0，2]（8分）
（3）当a＞2时，则f（x）在[0，2]上是增函数
∴f（x）_max=f（2）=5
故a=

8

3

＞2                            （11分）
综上所述，a=-4或a=

8

3

                  （12分）

点评：此题是个中档题．本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题．关于不定解析式的二次函数在固定闭区间上的最值问题，一般是根据对称轴和闭区间的位置关系来进行分类讨论，如轴在区间左边，轴在区间右边，轴在区间中间，最后在综合归纳得出所需结论