Question

如图，在正方形ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E为AB中点，F为AA₁的中点，求证：

(1)E、C、D₁、F四点共面；

(2)CE、D₁F、DA三线共点.

Answer 1

证明：(1)分别连结EF、A₁B、D₁C，

∵E、F分别是AB和AA₁的中点，

∴EF∥A₁B且EF=A₁B.

又∵A₁D₁

B₁C₁BC,∴四边形A₁D₁CB是平行四边形.∴A₁B∥CD₁.从而EF∥CD.

由公理2的推论3，EF与CD₁确定一个平面.

∴E、F、D₁、C四点共面.

(2)∵EFCD₁,∴直线D₁F和CE必相交.设D₁F∩CE=P，∵D₁F平面AA₁D₁D，P∈D₁F,∴P∈平面AA₁D₁D.

又CE平面ABCD，P∈CE，∴P∈平面ABCD，即P是平面ABCD与平面AA₁D₁D的公共点.而平面ABCD∩平面AA₁D₁D=AD，

∴P∈AD(公理3).∴CE、D₁F、DA三线共点.