Question

已知数列{a_n}满足a_n＞0，a₁=m，其中0＜m＜1，函数f(x)=

x

1+x

．
（1）若数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n），（n≥1，n∈N），求a_n；
（2）若数列{a_n}满足a_n+1≤f（a_n），（n≥1，n∈N）．数列{b_n}满足bn=

an

n+1

，求证：b₁+b₂+…+b_n＜1．

Answer 1

分析：（1）由an+1=

an

1+an

，知

1

an+1

=

1+an

an

=1+

1

an

．所以

1

an+1

-

1

an

=1 (n≥1，n∈N)，由此能求出a_n．（2）由an+1≤

an

1+an

， (an＞0，n＞1，n∈N)．知

1

ak

≥

1+ak-1

ak-1

=

1

ak-1

+1，所以

1

ak

-

1

ak-1

≥1 (k=2，…n)．由此能够证明b₁+b₂+…+b_n＜1．

解答：解：（1）由题设知an+1=

an

1+an

，
∴

1

an+1

=

1+an

an

=1+

1

an

．
∴

1

an+1

-

1

an

=1 (n≥1，n∈N)
∴{

1

an

}是以

1

a1

=

1

m

为首项1为差的等差数列，
∴

1

an

=

1

m

+(n-1)×1=

1+(n-1)•m

m

∴an=

m

1+(n-1)•m

（2）由条件可得：an+1≤

an

1+an

， (an＞0，n＞1，n∈N)．
∴

1

ak

≥

1+ak-1

ak-1

=

1

ak-1

+1
∴

1

ak

-

1

ak-1

≥1 (k=2，…n)
∴

1

a2

-

1

a1

≥1，  

1

a3

-

1

a2

≥1，…，

1

an

-

1

an-1

≥1
∴

1

an

-

1

a1

≥n-1
am≤

m

1+(n-1)•m

 (n≥1， n∈N)
∵0＜m＜1
∴

1

m

＞1
∴ak≤

m

1+(k-1)•m

=

1

1 m +k-1

＜

1

k

  (k=1，2，．，，，n)
∴bk=

ak

k+1

＜

1

k•(k+1)

=

1

k

=

1

k+1

 (k=1，2，…，n)
∴b1+b2+…+bn＜(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

＜1．

点评：本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的灵活运用．