Question

已知抛物线C：y=ax²（a＞0）上的点P（b，1）到焦点的距离为，
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）如图，已知动线段AB（B在A右边）在直线l：y=x-2上，且，现过A作C的切线，取左边的切点M，过B作C的切线，取右边的切点为N，当MN∥AB，求A点的横坐标t的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义把点P（b，1）到焦点的距离转化为到准线的距离，由此可求a的值；
（Ⅱ）设出M和N的坐标，利用导数求出过M和N的切线方程，由t表示出A，B的坐标，把A，B代入切线方程后求出M和N的坐标，由两点式写出MN所在直线的斜率，由斜率等于1即可求出t的值．
解答：解：（Ⅰ）抛物线C：y=ax²即，准线方程为：，
∵点P（b，1）到焦点的距离为，∴，∴a=1，∴抛物线C的方程为y=x²；
（Ⅱ）设，∵y=x²，∴y'=2x，∴k_AM=2x₁，
∴切线AM的方程为：，即，
同理可得切线BN的方程为：
由于动线段AB（B在A右边）在直线l：y=x-2上，且，
故可设A（t，t-2），B（t+1，t-1），
将A（t，t-2）代入切线AM的方程，得，即，
∴，
同理可得，
∵，当MN∥AB时，k_MN=1，得x₁+x₂=1，
∴，
∴，
∴
得t=0或（舍去），∴t=0．
点评：本题考查了抛物线的方程，运用了数学转化思想方法．考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用导数求曲线上某点的切线方程，考查了二次方程根的求法，解答此题的关键是用A点的坐标表示出B点的坐标，属难题．