Question

已知函数f（x）=lnx-ax+1在x=2处的切线斜率为-．
（I）求实数a的值及函数f（x）的单调区间；
（II）设g（x）=，对?x₁∈（0，+∞），?x₂∈（-∞，0）使得f（x₁）≤g（x₂）成立，求正实数k的取值范围；
（III）证明：++…+＜（n∈N^*，n≥2）•

Answer 1

解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）．
由已知得：f′（x）=-a，f′（2）=-a=-，解得a=1．
于是f′（x）=-1=，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f （x）为增函数，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f （x）为减函数，
即f （x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，?x₁∈（0，+∞），f （x₁）≤f （1）=0，即f （x₁）的最大值为0，
由题意知：对?x₁∈（0，+∞），?x₂∈（-∞，0）使得f （x₁）≤g（x₂）成立，
只须f （x）_max≤g（x）_max．
∵g（x）==x++2k=-（-x+）+2k≤-2+2k，∴只须-2≥0，解得k≥1．
故k的取值范围[1，+∞）．
（Ⅲ）要证明：++…+＜（n∈N^*，n≥2）•
只须证，
即证，
由（Ⅰ）知，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f （x）为减函数，
∴f （x）=lnx-x+1≤f（1）=0，即lnx≤x-1，
∴当n≥2时，lnn²＜n²-1，
1-=1-，
（1-+）+（1-+）+…+（1-）
=n-1-+=，
∴++…+＜．
分析：（Ⅰ）由f′（2）=-可求得a值，在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可求单调区间．
（Ⅱ）该问题可转化为解不等式f（x）_max＜g（x）_max，进而转化为求函数的最值问题．
（Ⅲ）要证明++…+＜（n∈N^*，n≥2），只须证，即证，由f（x）的最大值得到一不等式，以此对该不等式左边各项进行放缩求和即可．
点评：本题考查了导数的综合应用，用导数求单调区间、求最值、证明不等式，考查了分析问题解决问题的能力，本题运用了转化思想．