Question

已知函数f(x)=2cos

x

2

(cos

x

2

+asin

x

2

)（a∈R），且f(x)≤|f(

π

3

)|对x∈R恒成立．则a=

 

．

Answer 1

分析：f（x）解析式利用单项式乘以多项式法则计算，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据f（x）≤|f（

π

3

）|对x∈R恒成立，根据正弦函数的值域列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．

解答：解：f（x）=2cos²

x

2

+2asin

x

2

cos

x

2

=cosx+1+asinx=

a2+1

sin（x+α）+1（其中sinα=

1

a2+1

，cosα=

a

a2+1

），
∵f（

π

3

）=cos

π

3

+1+asin

π

3

=

1

2

+1+

3

2

a=

3+ 3 a

2

，f（x）≤|f（

π

3

）|对x∈R恒成立，
∴

a2+1

+1=|

3+ 3 a

2

|，
两边平方得：a²+1=

( 3 a+1)2

4

，即a²-2

3

a+3=0，
变形得：（a-

3

）²=0，
解得：a=

3

．
故答案为：

3

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，树林里掌握公式是解本题的关键．