Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M、N分别为A₁B₁、AB的中点．
①求证：平面A₁NC∥平面BMC₁；
②若AB=AA₁，求BM与AC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：①由题意可得A₁N∥BM，由线面平行的判定定理可得：A₁N∥平面BMC₁．同理可得：CN∥平面BMC₁．再结合面面平行的判定定理可得面面平行．
②根据A₁N∥BM，并且AC∥A₁C₁，可得BM与AC所成角等于A₁C₁与A₁N所成的角，即∠NA₁C₁为所求或者与其互补．然后把角放入三角形中利用解三角形的有关知识解决问题即可．

解答：解：①证明：在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M、N分别为A₁B₁、AB的中点，
所以A₁N∥BM，
因为BM?平面BMC₁，A1N?平面BMC₁，
所以A₁N∥平面BMC₁．
因为M、N分别为A₁B₁、AB的中点，
所以C1M∥CN，
因为C1M?平面BMC₁，CN?平面BMC₁，
所以CN∥平面BMC₁．
又因为CN∩A₁N=N，并且CN?平面A₁NC，A₁N?平面A₁NC
所以平面A₁NC∥平面BMC₁．
②由 ①可得A₁N∥BM，
又因为AC∥A₁C₁，
所以BM与AC所成角等于A₁C₁与A₁N所成的角，
即∠NA₁C₁为所求或者与其互补．
连接C₁N，在△NA₁C₁中，设AB=AA₁=2，所以A₁N=

5

，A₁C₁=2，NC₁=

7

，
所以根据余弦定理可得：cosNA₁C₁=

5

10

．
所以BM与AC所成角的余弦值

5

10

．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，进而得到线面关系与面面关系，以及熟练掌握空间角的求法（步骤是先作角，再证角，然后放入三角形进行求解）．