Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c+4lnx的极值点为1和2．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）试讨论方程f（x）=3x²根的个数；
（Ⅲ）设h（x）=

1

4

f（x）-

1

4

x2+

3

2

x，斜率为k的直线与曲线y=h（x）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，试比较

1

k

与

x1+x2

2

的大小，并给予证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为函数极值点是在函数的导数等于0时得到，所以，对函数f（x）求导，把x=1和x=2代入导数，等于0，就可求出a，b的值．
（Ⅱ）由f（x）=3x²得x²-6x+c+4lnx=3x²，c=2x²+6x-4lnx，设g（x）=2x²+6x-4lnx，x∈（0，+∞）．要求方程f（x）=3x²根的个数，也即求g（x）与x轴交点个数，利用导数可得．
（Ⅲ）把f（x）=3x²代入h（x）=

1

4

f（x）-

1

4

x2+

3

2

x，因为斜率为k的直线与曲线y=h（x）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，所以可用A，B点坐标表示k，这样，k就与

x1+x2

2

用相同参数表示，再利用对数函数的单调性，就可证明．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=2ax+b+

4

x

=

2ax2+bx+4

x

，x∈（0，+∞），
由y=f（x）的极值点为1和2，
∴2ax²+bx+4=0的根为1和2，
∴

2a+b+4=0 8a+2b+4=0.

解得

a=1 b=-6.

（Ⅱ）由f（x）=3x²得x²-6x+c+4lnx=3x²，c=2x²+6x-4lnx，设g（x）=2x²+6x-4lnx，x∈（0，+∞）.g′(x)=4x+6-

4

x

=

2(2x2+3x-2)

x

=

2(2x-1)(x+2)

x

，
当x变化时，g'（x）与g（x）的变化情况如下表：

x	(0， 1 2 )	( 1 2 ，+∞)
g'（x）	-	+
g（x）	单调递减	单调递增

由此得，函数y=g（x）的单调减区间为(0，

1

2

)，单调增区间为(

1

2

，+∞)．
∴g(x)min=2×

1

4

+6×

1

2

-4ln

1

2

=

7

2

+4ln2，
且当x正向趋近于0时，g（x）趋近于+∞，
当x趋近于+∞时，g（x）趋近于+∞．
∴当c=

7

2

+4ln2时，方程只有一解；
当c＞

7

2

+4ln2时，方程有两解；
当c＜

7

2

+4ln2时，方程无解．
（Ⅲ）

1

k

＜

x1+x2

2

．
证明：由（Ⅰ）得f（x）=x²-6x+c+4lnx，
∴h(x)=lnx+

c

4

，k=

lnx2-lnx1

x2-x1

，x₂＞x₁＞0．
要证

1

k

＜

x1+x2

2

，即证

x2-x1

lnx2-lnx1

＜

x1+x2

2

，
只需证

x2 x1 -1

ln x2 x1

＜

x2 x1 +1

2

，（因为

x2

x1

＞1，ln

x2

x1

＞0）
即证ln

x2

x1

＞

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

．只需证ln

x2

x1

-

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

＞0．（*）
设φ(x)=lnx-

2(x-1)

x+1

（x＞1），∵φ′(x)=

1

x

-

4

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

＞0，
∴φ（x）在（1，+∞）单调递增，φ（x）＞φ（1）=0，
∴不等式（*）成立．
∴

1

k

＜

x1+x2

2

．

点评：本题考查了应用导数求极值，以及函数的单调区间，做题时要细心，避免出错．