Question

已知函数f(x)=lg(x+

a

x

-2)，其中a是大于0的常数．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）当a∈（1，4）时，求函数f（x）在[2，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析：（1）求函数f（x）的定义域，就是求x+

a

x

-2＞0的解集，可以通过对a分类讨论解解不等式求解；
（2）可以构造函数g（x）=x+

a

x

-2，当a∈（1，4）时通过导数法研究g（x）在[2，+∞）上的单调性，再利用复合函数的性质可以求得f（x）在[2，+∞）上的最小值．

解答：解：（1）由x+

a

x

-2＞0得，

x2-2x+a

x

＞0
即

(x-1)2+a-1

x

＞0
∵（x-1）²≥0
∴a＞1时，定义域为（0，+∞）
a=1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}，
0＜a＜1时，定义域为{x|0＜x＜1-

1-a

或x＞1+

1-a

}
（2）设g（x）=x+

a

x

-2，当a∈（1，4），x∈[2，+∞）时，
g'（x）=1-

a

x2

=

x2-a

x2

＞0恒成立，
∴g（x）=x+

a

x

-2在[2，+∞）上是增函数，
∴f（x）=lg（x+

a

x

-2）在[2，+∞）上是增函数，
∴f（x）=lg（x+

a

x

-2）在[2，+∞）上的最小值为f（2）=lg

a

2

点评：此题考查了对数函数的定义域以及复合函数的单调性，体现了分类讨论思想．