题目内容

若函数g（x）=xf（x）+x3-2的图象在x=2处的切线方程为y=f（x），则f（x）=
-6x+6
-6x+6
．
分析：根据函数模型设出f（x）的解析式，然后根据在x=2处的导数等于切线的斜率，切点在切线上，建立方程组解之即可．
解答：解：∵函数在x=2处的切线方程为y=f（x）
∴y=f（x）为一次函数，故可设f（x）=kx+b
即g（x）=x（kx+b）+x3-2=x3+kx2+bx
g′（x）=3x2+2kx+b，g（2）=8+4k+2b即切点为（2，8+4k+2b）
∴g′（2）=12+4k+b=k①，
而切点为（2，8+4k+2b）在直线f（x）=kx+b上
则8+4k+2b=2k+b②
解①②得：k=-6，b=6
故答案为：-6x+6
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及待定系数法的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=x-klnx，常数k＞0．
（I）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求f（x）的单调区间；
（II）若函数g（x）=xf（x）在区间（1，2）上是增函数，求k的取值范围；
（III）设函数F（x）=f(x)+f(
1x
)，求证：F（1）F（2）F（3）…F（2n）＞2n（n+1）n（n∈N*）．
二次函数f（x）满足：f（0）=2，f（x）=f（-2-x），它的导函数的图象与直线y=2x平行．
（I）求f（x）的解析式；
（II）若函数g（x）=xf（x）-x的图象与直线y=m有三个公共点，求m的取值范围．
已知函数f（x）=logax（a＞0，且a≠1）自变量与函数值的部分对应值如下表：
x 2 1 0.25
f（x） -1 0 2
则a=
1
2
1
2
；若函数g（x）=xf（x），则满足条件g（x）＞0的x的集合为
{x|0＜x＜1}
{x|0＜x＜1}
．
已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）．
（1）若方程f（x）+6a=0有两个相等的实数根，求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=xf（x）无极值，求实数a的取值范围．

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