Question

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁的中点是P，则三棱锥P-B₁BC₁外接球的表面积为

9π

．

Answer 1

分析：根据题意，三棱锥P-B₁BC₁外接球就是以B₁B、B₁C₁、BP为长宽高的长方体的外接球．由此结合题中数据算出长方体的对角线长，得到外接球的直径，从而得到半径R=

3

2

，结合球的表面积公式即可算出答案．

解答：解：∵B₁B、B₁C₁、BP两两互相垂直，
∴三棱锥P-B₁BC₁外接球，就是以B₁B、B₁C₁、BP为长宽高的长方体的外接球
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为2
∴以B₁B、B₁C₁、BP为长宽高的长方体的对角线长为

12+22+22

=3
可得三棱锥P-B₁BC₁外接球外接球直径等于3，半径R=

3

2

因此，外接球的表面积为S=4πR²=9π
故答案为：9π

点评：本题给出正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱A₁B₁的中点P，求三棱锥P-B₁BC₁外接球的表面积，着重考查了长方体的对角线公式和球的表面积公式等知识，属于基础题．