Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，且有一个顶点的坐标为（0，1）．
（Ⅰ） 求该椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，过点P(0，-

1

3

)的直线l交椭圆于A，B两点，是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个定点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，且有一个顶点的坐标为（0，1），知a²=2b²，b=1，a²=2．由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）假设存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个定点．当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为x²+y²=1．当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为x2+(y+

1

3

)2=

16

9

．由此能够推导出存在定点Q（0，1），使以AB为直径的圆恒过这个定点．

解答：解：（Ⅰ）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，
且有一个顶点的坐标为（0，1），
∴a²=2b²，b=1，a²=2．
所以椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．（5分）
（Ⅱ）假设存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个定点．
当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为x²+y²=1．
当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为x2+(y+

1

3

)2=

16

9

．
解得这两个圆的交点坐标为（0，1），那么这个定点坐标为（0，1）．（9分）
下证以AB为直径的圆恒过定点Q（0，1）．
设直线l：y=kx-

1

3

，代入

x2

2

+y2=1，有(2k2+1)x2-

4

3

kx-

16

9

=0．
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则x1+x2=

4k

3(2k2+1)

，x1x2=

-16

9(2k2+1)

．（11分）
则

QA

=(x1，y1-1)，

QB

=(x2，y2-1)，

QA

•

QB

=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+(kx1-

4

3

)(kx2-

4

3

)

=(1+k2)x1x2- 4 3 k(x1+x2)+ 16 9 =(1+k2) -16 9(2k2+1) - 4 3 k 4k 3(2k2+1) + 16 9 =0

∴存在定点Q（0，1），使以AB为直径的圆恒过这个定点．（15分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的定点是否存在的探索．综合性强，难度大，对数学思维的要求较高，具有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．