Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S₄=16，S₆=36，
（1）求a_n；
（2）设λ为实数，对任意正整数m，n，不等式S_m+S_n＞λ•S_m+n恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）设函数f(n)=

an，n为奇数 f( n 2 )，n为偶数

c_n=f（2ⁿ⁺²+4）（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由S₄=16，S₆=36，知

4a1+ 4×3 2 d=16 6a1+ 6×5 2 d=36

，由此能求出a_n．
（2）由a_n=2n-1，得S_n=n²，由m²+n²＞λ（m+n）²对任意正整数m，n恒成立，知λ＜

m2+n2

(m+n)2

对任意正整数m，n恒成立，由此能求出实数m的取值范围．
（3）由题意得cn=f(2n+2+4)=f(2n+1+2)=f(2n+1)=a2n+1=2•(2n+1)-1=2n+1+1，由此能求出T_n．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由S₄=16，S₆=36，
得

4a1+ 4×3 2 d=16 6a1+ 6×5 2 d=36

，…（2分）
解得

a1=1 d=2

，…（4分）
∴a_n=2n-1…（5分）
（2）由a_n=2n-1，
得S_n=n²，
S_m+S_n＞λ•S_m+n，
即m²+n²＞λ（m+n）²对任意正整数m，n恒成立，
∴λ＜

m2+n2

(m+n)2

对任意正整数m，n恒成立，…（7分）
而

m2+n2

(m+n)2

=

m2+n2

m2+n2+2mn

≥

m2+n2

m2+n2+m2+n2

=

1

2

（m=n时取等号）…（9分）
∴λ＜

1

2

…（10分）
（3）由题意得：
cn=f(2n+2+4)=f(2n+1+2)=f(2n+1)=a2n+1=2•(2n+1)-1=2n+1+1…（13分）
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n
=（2²+2³+…+2ⁿ⁺¹）+n
=2ⁿ⁺²-4+n．…（15分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，求实数λ的取值范围和求数列{c_n}的前n项和T_n．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．