题目内容

若函数f（x）的图象与函数g(x)=(
13
)x的图象关于直线y=x对称，求f（2x-x2）的单调递减区间．
分析：由函数f（x）的图象与函数g(x)=(
1
3
)x的图象关于直线y=x对称，可得f(x)= log
1
3
 x
可得f(2x-x2)=log
1
3
(2x-x2)，先求出该函数的定义域（0，2），然后根据复合函数的单调性可求
解答：解：∵函数f（x）的图象与函数g(x)=(
1
3
)x的图象关于直线y=x对称，
∴f(x)= log
1
3
 x
∴f(2x-x2)=log
1
3
(2x-x2)①
∵①的定义域为（0，2）
令t=2x-x2，则t=2x-x2在0（0，1]单调递增，在[[1，2）单调递减
而函数y=log
1
3
t 在（0，+∞）单调递减
由符合函数的单调性可知函数的单调减区间是：（0，1]
点评：本题主要考查了互为反函数的函数的解析式的求解，由对数函数与二次函数复合的函数的单调区间的求解，此类问题的容易出错点是：漏掉对函数定义域的求解，造成单调区间扩大为（-∞，1]，[1，+∞）．
练习册系列答案
相关题目
设函数f(x)=cosωx(
3
sinωx+cosωx)，其中0＜ω＜2．（I）若f（x）的周期为π，当-
π
6
≤x≤
π
3
时，求f(x)的值域；（II）若函数f（x）的图象的一条对称轴为x=
π
3
，求ω的值．
已知向量
b
=(m，sin2x)，
c
=(cos2x，n)，x∈R，f(x)=
b
•
c
，若函数f（x）的图象经过点（0，1）和(
π
4
，1)．
（I）求m、n的值；
（II）求f（x）的最小正周期，并求f（x）在x∈[0，
π
4
]上的最小值；
（III）当f(
α
2
)=
1
5
，α∈[0，π]时，求sinα的值．
若函数y=f（x+2）的图象过点P（-1，3），则若函数f（x）的图象一定过定点
（1，3）
（1，3）
．
（2011•佛山二模）（1）定理：若函数f（x）的图象在区间[a，b]上连续，且在（a，b）内可导，则至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）成立．应用上述定理证明：
①1-
x
y
＜lny-lnx＜
y
x
-1(0＜x＜y)；
②
n
k-2
1
k
＜lnn＜
n-1
k-1
1
k
(n＞1)．
（2）设f（x）=xn（n∈N*）．若对任意的实数x，y，f（x）-f（y）=f′（
x+y
2
）（x-y）恒成立，求n所有可能的值．
已知函数f（x）=x3-x2+ax+b
（I）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间：
（Ⅱ）若函数f（x）的图象过点（1，1）且极小值点在区间（1，2）内，求实数b的取值范围．

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