题目内容

已知函数f（x）是定义在R上的增函数，设F（x）=f（x）-f（a-x）．
（1）用函数单调性的定义证明：F（x）是R上的增函数；
（2）证明：函数y=F（x）的图象关于点（
a
2
，0）成中心对称图形．
（1）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则F（x1）-F（x2）
=f（x1）-f（a-x1）-[f（x2）-f（a-x2）]．
=[f（x1）-f（x2）]+[f（a-x2）-f（a-x1）]．
∵x1＜x2，∴-x1＞-x2，∴a-x1＞a-x2，
∵函数f（x）是定义在R上的增函数，∴f（x1）＜f（x2），f（a-x2）＜f（a-x1）．
∴f（x1）-f（x2）＜0，f（a-x2）-f（a-x1）＜0．
∴[f（x1）-f（x2）]+[f（a-x2）-f（a-x1）]＜0．
即F（x1）＜F（x2），
∴F（x）是R上的增函数．
（2）设M（x0，y0）为函数y=F（x）的图象上任一点，设点M（x0，y0）关于点（
a
2
，0）的对称点为N（m，n），
则
a
2
=
x0+m
2
，0=
y0+n
2
，，∴m=a-x0，n=-y0，
∵把m=a-x0代入F（x）=f（x）-f（a-x）．
得，f（a-x0）-f（a-a+x0）=f（a-x0）-f（x0）=-y0=n
即点N（m，n）在函数F（x）的图象上．
∴函数y=F（x）的图象关于点（
a
2
，0）成中心对称图形．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=
2x+2-x
2
，g（x）=
2x-2-x
2
，
（1）计算：[f（1）]2-[g（1）]2；
（2）证明：[f（x）]2-[g（x）]2是定值．
精英家教网已知函数f（x）=x+
a
x
的定义域为（0，+∞），且f（2）=2+
2
2
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已知函数f（x）=log3
3
x
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1
2
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OP
=
OM
+
ON
（O为坐标原点）．
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（Ⅱ）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*，且n≥2，求Sn；
（Ⅲ）已知an=
1
6
，                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
，其中n∈N*，Tn为数列{an}的前n项和，若Tn＜m（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求m的取值范围．
已知函数f（x）=log3
3
x
1-x
，M（x1，y1），N（x2，y2）是f（x）图象上的两点，且x1+x2=1．
（1）求证：y1+y2为定值；
（2）若Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
）（n∈N*，N≥2），求Sn；
（3）在（2）的条件下，若an=
1
6
 ，n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
（n∈N*），Tn为数列{an}的前n项和．求Tn．
已知函数f（x）=sin（2x-
π
6
），g（x）=sin（2x+
π
3
），直线y=m与两个相邻函数的交点为A，B，若m变化时，AB的长度是一个定值，则AB的值是（　　）

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