Question

已知函数f(x)=

(3a-1)x+4a，x＜1 logax，x≥1

满足对任意x₁≠x₂都有

f (x 1)-f(x 2)

x1-x2

＜0 成立，则a的取值范围是

1

7

＜a＜

1

3

．

Answer 1

分析：根据题中条件，可以先判断出函数f（x）在R上单调递减，再结合分段函数的解析式，要每一段都是减函数，且分界点时左段函数的函数值要大于等于右段函数的函数值，列出不等关系，求解即可得到a的取值范围．

解答：解：∵对任意x₁≠x₂都有

f (x 1)-f(x 2)

x1-x2

＜0 成立，
∴x₁-x₂与f（x₁）-f（x₂）异号，
根据函数单调性的定义，可知f（x）在R上是单调递减函数，
∵函数f(x)=

(3a-1)x+4a，x＜1 logax，x≥1

，
∴

3a-1＜0 0＜a＜1 (3a-1)×1+4a≥loga1

，解得

1

7

＜a＜

1

3

，
∴a的取值范围是

1

7

＜a＜

1

3

．
故答案为：

1

7

＜a＜

1

3

．

点评：本题考查了函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．对于分段函数的问题，一般选用分类讨论和数形结合的思想方法进行求解．属于中档题．