题目内容
设命题P：函数f（x）=x+
（a＞0）在区间（1，2）上单调递增；命题Q：不等式|x-1|-|x+2|＜4a对任意x∈R都成立．若“P或Q”是真命题，“P且Q”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
| a |
| x |
A．
| B．
| ||||
C．0＜a≤
| D．0＜a＜
|
∵f（x）=x+
，
∴f′（x）=
，
∵f（x）在（1，2）上单调递增，
∴f′（x）=
≥0在（1，2）恒成立．
∴a≤1
即若p真则a≤1．
∵不等式|x-1|-|x+2|＜4a对任意x∈R都成立，
所以|x-1|-|x+2|的最大值小于4a即可．
所以3＜4a，
所以a＞
，
即若q真则有a＞
，
∵“P或Q”是真命题，“P且Q”是假命题，
∴p，q中有一个真一个假，
所以当p真q假有
即0＜a≤
；
当p假q真有
即a＞1
故若“P或Q”是真命题，“P且Q”是假命题，则实数a的取值范围：（0，
]∪（1，+∞）．
故选C．
| a |
| x |
∴f′（x）=
| x2-a |
| x2 |
∵f（x）在（1，2）上单调递增，
∴f′（x）=
| x2-a |
| x2 |
∴a≤1
即若p真则a≤1．
∵不等式|x-1|-|x+2|＜4a对任意x∈R都成立，
所以|x-1|-|x+2|的最大值小于4a即可．
所以3＜4a，
所以a＞
| 3 |
| 4 |
即若q真则有a＞
| 3 |
| 4 |
∵“P或Q”是真命题，“P且Q”是假命题，
∴p，q中有一个真一个假，
所以当p真q假有
|
| 3 |
| 4 |
当p假q真有
|
故若“P或Q”是真命题，“P且Q”是假命题，则实数a的取值范围：（0，
| 3 |
| 4 |
故选C．
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