Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，a₂=1，且

an-1-an

anan-1

=

an-an+1

anan+1

（n≥2），bn=

2n

an

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）根据

an-1-an

anan-1

=

an-an+1

anan+1

，变形可得2

1

an

=

1

an+1

+

1

an-1

，从而有{

1

an

}是等差数列，根据等差数列的通项公式求出

1

an

=

1

2

+(n-1)×

1

2

=

n

2

，从而得出数列{a_n}的通项公式；
（2）求出数列{b_n}的通项公式，利用错位相减法，可得数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）因为

an-1-an

anan-1

=

an-an+1

anan+1

，
所以

1

an

-

1

an-1

=

1

an+1

-

1

an

，即2

1

an

=

1

an+1

+

1

an-1

，
所以{

1

an

}是等差数列，因为a₁=2，a₂=1，
所以该数列首项为

1

2

，公差也是

1

2

，
所以

1

an

=

1

2

+(n-1)×

1

2

=

n

2

，所以an=

2

n

．
（2）由（1）知

1

an

=

n

2

，
所以b_n=n•2^n-1，
∴S_n=1+2×2+3×2²+…+n×2^n-1
则2S_n=4+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ
相减得S_n=n•2ⁿ-（1+2+2²+2³+…+2^n-1）=（n-1）2ⁿ+1
∴S_n=（n-1）•2ⁿ+1（n∈N^*）．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，正确运用错位相减法是关键．