题目内容

如图所示，一辆载着重危病人的火车从O地出发，沿射线OA行驶（北偏东α角），其中 $数学公式$ ，在距离O地5a km（a为正数）北偏东β角的N处住有一位医学专家，其中 $数学公式$ ．现110指挥部紧急征调离O地正东p km的B处的救护车赶往N处载上医学专家全速追赶载有重危病人的火车，并在C处相遇，经测算当辆车行驶路线与OB围成的三角形OBC面积S最小时，抢救最及时．
（1）求S关于p的函数关系；
（2）当p为何值时，抢救最及时？

解：（1）建立如图所示的直角坐标系，
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，∴N点的坐标为（3a，4a）．
又射线OA的方程为y=3x，
又B（p，0），∴直线BN的方程为 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ．…
当p=3a时，C（3a，9a）， $\text{[math]}$ ．
当p≠3a时，方程组 $\text{[math]}$ ，解为 $\text{[math]}$

∴点C的坐标为 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．对p=3a也成立．
∴ $\text{[math]}$ ．…
（2）由（1）得 $\text{[math]}$ ．
令 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
当且仅当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ ，上式取等号，∴当 $\text{[math]}$ Km时，S有最小值，即抢救最及时．…
分析：（1）由已知中射线OA行驶（北偏东α角），其中 $\text{[math]}$ ，在距离O地5a km（a为正数）北偏东β角的N处住有一位医学专家，其中 $\text{[math]}$ ．我们可能建立直角坐标系，分别求出直线的方程和点的坐标，进而可以得到S关于p的函数关系；
（2）p为何值时，抢救最及时，可转化为求函数的最小值，根据（1）中的函数解析式，利用基本不等式，可求出函数的最小值，进而得到答案．
点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，其中解答的关键是建立平面直角坐标系，将题目中的相关直线、点的方程或坐标具体化，进而拟合出函数模型．