Question

2．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且${S_n}=2-{（\frac{1}{2}）^{n-1}}，n∈{N^*}$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列b_n=$\frac{n}{2}{a_n}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用n=1时，a₁=S₁，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，计算即可得到所求通项；
（Ⅱ）求得b_n=$\frac{n}{2}{a_n}$=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求．

解答 解：（Ⅰ）n=1时，a₁=S₁=1，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2-（$\frac{1}{2}$）^n-1-2+（$\frac{1}{2}$）^n-2=（$\frac{1}{2}$）^n-1，
此式对于n=1也成立．则有a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1；
（Ⅱ）设数列b_n=$\frac{n}{2}{a_n}$=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
前n项和T_n=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{4}$+3•$\frac{1}{8}$+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$T_n=1•$\frac{1}{4}$+2•$\frac{1}{8}$+3•$\frac{1}{16}$+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
两式相减可得，$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
化简可得前n项和T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意数列的通项与前n项和的关系，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．