Question

（2006•松江区模拟）已知a_n≥0，n∈N^*，关于x的一元二次方程x²-a_nx-1=0的两实数根α_n、β_n满足  α_n＞β_n，且a₁=0，a_n+1=α_n-β_n．
（1）求数列{α_n}和{β_n}的通项公式；
（2）求

lim

n→∞

β1+β2+…+βn

αn

的值．

Answer 1

分析：（1）由于x的一元二次方程x²-a_nx-1=0的两实数根α_n、β_n，利用韦达定理可得α_n+β_n=a_n，α_nβ_n=-1，利用a_n+1=α_n-β_n，进一步可表示a_n+1．从而可得{a_n²}是一个以0为首项，4为公差的等差数列，故可求数列{α_n}的通项公式；再借助于a_n+1=α_n-β_nα_n+β_n=a_n，可求{β_n}的通项公式；
（2）将数列{α_n}和{β_n}的通项公式代入，化简后利用极限的运算法则可解．

解答：解：（1）∵α_n＞β_n，且a₁=0，a_n+1=α_n-β_n，
∴αn+βn=an，αnβn=-1，an+1=αn-βn=

(αn+βn)2-4αnβn

=

an2+4

⇒an+12-an2=4，
∴{a_n²}是一个以0为首项，4为公差的等差数列．∴an2=4(n-1)⇒an=2

n-1

，
∴

αn+βn=2 n-1 αn-βn=2 n

⇒αn=

n

+

n-1

，βn=

n-1

-

n

．
（2）

lim

n→∞

β1+β2+…+βn

αn

=

lim

n→∞

-1+1- 2 + 2 - 3 +…+ n-1 - n

n + n-1

=

lim

n→∞

- n

n + n-1

=-

1

2

．

点评：本题的考点是数列的极限，主要考查数列通项的研究，考查数列极限的求法，关键是构建新数列，求数列通项．