Question

16．已知函数数列{a_n}，a₁=1，${a}_{n-1}=\frac{5{a}_{n}}{{a}_{n}+5}$，则数列{a_n}的通项a_n=$\frac{5}{6-n}$．

Answer 1

分析 根据数列的递推关系，利用取倒数法进行求解即可．

解答 解：∵a₁=1，${a}_{n-1}=\frac{5{a}_{n}}{{a}_{n}+5}$，
∴取倒数得$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n}+5}{5{a}_{n}}$=$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
即$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=-$\frac{1}{5}$，
即数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以公差d=-$\frac{1}{5}$，首项为$\frac{1}{{a}_{1}}=1$的等差数列，
则$\frac{1}{{a}_{n}}$=1-$\frac{1}{5}$（n-1）=$\frac{6-n}{5}$，
∴数列{a_n}的通项a_n=$\frac{5}{6-n}$，
故答案为：$\frac{5}{6-n}$．

点评 本题主要考查数列通项公式的求解，利用数列的递推关系，利用取倒数法是解决本题的关键．