Question

已知函数f(x)=log

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2

x．函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称．
①求g（x）的解析式．
②设h（x）=f（x）+g（x），求h（x）的最值和单调区间．

Answer 1

分析：①根据函数图象对称的公式，利用坐标转移的方法，可求得g（x）的解析式为y=log

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(2-x)；
②根据题意，得h(x)=log

1

2

(2x-x2)，根据对数的真数大于0，解不等式可得h（x）的定义域为（0，2），再根据二次函数的单调区间，结合对数函数的单调性可得函数y=h（x）的增区间是（1，2），减区间为（0，1）．最后根据函数的单调性，求得h（x）≥0，所以h（x）有最小值0，无最大值．

解答：解：①设P（x，g（x））是函数y=g（x）图象上一点，P关于直线x=1对称的点Q（x'，f（x'））在函数y=f（x）的图象上
∴

x+x/ 2 =1 g(x)=f(x/)

，可得

x/=2-x f(x/)=g(x)

，
∴g（x）=f（x'）=f（2-x）=log

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(2-x)
∴g（x）的解析式是g(x)=log

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(2-x)  （4分）
②根据题意，得h(x)=log

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x+log

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(2-x)=log

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(2x-x2)
 其中2x-x²＞0，即0＜x＜2，可得h（x）的定义域为（0，2），
令t=2x-x²，则当x∈（0，1）时，t是关于x的增函数；当x∈（1，2）时，t是关于x的减函数．（6分）
∵0＜

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＜1，y=log

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t是关于t的减函数
∴函数y=h（x）的增区间是（1，2），减区间为（0，1）
又∵0＜2x-x²=-（x-1）²+1≤1，（8分）
∴log

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(2x-x2)≥log

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1=0，即h（x）≥0
∴h（x）有最小值0，无最大值．（12分）

点评：本题以对数函数为例，求已知函数图象关于直线x=1对称的图象对应的函数的解析式，并求复合型二次函数的单调区间和最值，着重考查了函数的单调性与基本初等函数等知识点，属于基础题．