Question

【题目】已知函数， .

（Ⅰ）若，求的单调区间；

（Ⅱ）若对任意的， 都有成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的单调递增区间是，单调递减区间是．（Ⅱ）

【解析】试题分析：（1）将代入表达式，求导，研究导函数的正负，从而得到单调区间；（2）先求出在上的最大值为，问题转化为恒成立，变量分离得到对任意的恒成立，转化为求函数的最值。

解析：

（Ⅰ）若，则 ， ，

由得；由得，

所以的单调递增区间是，单调递减区间是．

（Ⅱ），所以当时， ， 单调递减；

当时， ， 单调递增，

又， ，所以在上的最大值为．

由题意，若对任意的，都有成立，

即对任意的，都有恒成立，即恒成立，

即对任意的恒成立，所以．

设， ，则， ，

所以在上单调递减，则，

所以在上单调递减，又，

所以当时， ， 单调递增；

当时， ， 单调递减，

∴在上的最大值为，∴，

所以的取值范围是．

点睛:这个题目考查了导数在研究函数的单调性中的应用，在研究函数最值的应用；对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。