Question

已知等差数列{a_n}，a₁=29，S₁₀=S₂₀，
（1）问这个数列的前多少项的和最大？（2）并求最大值．

Answer 1

分析：（1）根据等差数列{a_n}，a₁=29，S₁₀=S₂₀的值，可求出首项和公差，进而得出前n项和公式，再根据等差数列前n项和
为n的二次函数，利用二次函数求最值的方法及可求出这个数列的前多少项的和最大．
（2）根据（1）中关于n的二次函数，即可求出前n项和最大值．

解答：解：（1）由S₂₀=S₁₀得：2a₁+29d=0，又a₁=29，∴d=-2
∴a_n=29+（-2）（n-1）=31-2n，
∴Sn=

n(a1+an)

2

=-n2+30n=-(n-15)2+225，
∴当n=15时，S_n最大，最大值为225．
（2）：由S₂₀=S₁₀得：a₁₁+a₁₂+…+a₂₀=0，即5（a₁₅+a₁₆）=0，①
∵a₁=29＞0，∴a₁₅＞0，a₁₆＜0，
故当n=15时，S_n最大，由①得：2a₁+29d=0，∴d=-2，∴a₁₅=29+（-2）（15-1）=1，
∴S_n的最大值为S15=

15(29+1)

2

=225．

点评：本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式，为基础题，必须掌握．