Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，
（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点个数；
（2） 若对x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），证明方程f（x）=[ f（x₁）+f（x₂）]必有一个实数根属于（x₁，x₂）。
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件①当x=-1时，函数f（x）有最小值0；
②对x∈R，都有0≤f（x）-x≤（x-1）²。
若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1），
∴a-b+c=0，b=a+c，
，
当a=c时，△=0，函数f（x）有一个零点；
当a≠c时，△＞0，函数f（x）有两个零点。
（2）令，
则，
，
∴，
∴g（x）=0在（x₁，x₂）内必有一个实根，
即方程必有一个实数根属于（x₁，x₂）。
（3）假设a，b，c存在，由①得，
，
由②知对，
令x=1得，
由，
当，
其顶点为（-1，0）满足条件①，
又，满足条件②，
∴存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足条件①、②。