Question

已知函数f（x）=（a＞1）
（1）判断函数f（x）的奇偶性
（2）求f（x）的值域
（3）证明f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出函数的定义域，利用函数的奇偶性的定义，判断f（x）的奇偶性．
（2）通过分离常数，根据指数函数的值域，求出f（x）的值域．
（3）利用函数单调性的定义，证明f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
解答：解：（1）f（x）的定义域为R，
f（-x）=，
∴f（x）是奇函数．
（2）f（x）=．
∴a^x＞0，∴0＜＜2，
∴-1＜1-＜1，
∴f（x）的值域为（-1，1）
（3）设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=
=
∵a＞1，x₁＜x₂，∴
又∵
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
点评：本题考查函数奇偶性的判断，函数的值域，函数单调性的判断与证明，考查计算能力，转化思想，是好题．